0 ในฐานะของเลขศูนย์

0 ในฐานะของเลขศูนย์

     เราถือว่าอินเดียเป็นต้นกำเนิดของระบบจำนวนอันซับซ้อนที่เราใช้กันอยู่ทุกวันนี้ แต่อินเดียเองก็ได้รับความรู้และอิทธิพลมาจากอารยธรรมรุ่นก่อนด้วย ในกรณีของเลข 0 นั้น ชาวอินเดียรู้จักกับมันในเชิงของปรัชญาและจิตวิญญาณมาตั้งแต่ 17,000 ปีก่อนแล้ว ปรัชญาของอินเดียพูดถึง ความว่างเปล่า มานาน คำว่าศูนย์เองก็คือ สูญ หรือ สุญตา และภาษาอังกฤษก็เรียก sunya(มาจากคำว่า sunyata) แทนคำว่าศูนย์เมื่อพูดถึงประวัติของเลขศูนย์
       ซึ่งชาวอินเดียรู้จักกับเลข 0 ในฐานะของตัวระบุตำแหน่งผ่านทางนักดาราศาสตร์ของกรีก ซึ่งเข้ามายังอินเดียในยุคที่อเล็กซานเดอร์มหาราชขยายอาณาจักรลงมาถึง ในหนังสือโบราณของอินเดียจะมีสัญลักษณ์เป็นจุด หรือวงกลมแทนตำแหน่งว่างในจำนวน(จุดในคณิตศาสตร์โบราณของอินเดียยังแทนตัวไม่ทราบค่าเหมือนที่เราใช้ x แทนด้วย) และดูเหมือนว่า 0 ในฐานะของตัวเลขนั้น เกิดขึ้นในราว พ.ศ. 1193
       ตัวเลขสำหรับอารยธรรมดั้งเดิมนั้น เป็นคำแทนสิ่งของที่พวกเขามีอยู่จริง แนวคิดเกี่ยวกับจำนวนศูนย์ หรือจำนวนลบ เป็นเรื่องที่เข้าใจยาก โดยเฉพาะเมื่อต้องบวก หรือลบจำนวน จนกระทั่งความหมายของตัวเลขค่อยๆ ซับซ้อนขึ้น เป็นนามธรรมมากขึ้น จำนวนศูนย์ และจำนวนลบจึงปรากฏออกมา โดยนักคณิตศาสตร์อินเดียได้เริ่มให้นิยามเกี่ยวกับจำนวนศูนย์ไว้ นักคณิตศาสตร์เหล่านั้นคือ พราหมณ์คุปตะ, มหาวีระ และ ภัสการ

คำนิยามที่พราหมณคุปต์ให้ไว้เกี่ยวกับเลข 0 ดังนี้

“ผลรวมของจำนวนศูนย์กับจำนวนลบ ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ และผลรวมของจำนวนศูนย์กับจำนวนบวก ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนบวก โดยผลรวมของจำนวนศูนย์กับจำนวนศูนย์ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนศูนย์”

    “จำนวนลบหักออกจากจำนวนศูนย์ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนบวก, จำนวนบวกหักออกจากจำนวนศูนย์ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ, จำนวนศูนย์หักออกจากจำนวนลบได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ, จำนวนศูนย์หักออกจากจำนวนบวกได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนบวก และจำนวนศูนย์หักออกจากจำนวนศูนย์ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนศูนย์”

     นี่เป็นความพยายามของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียเกี่ยวกับเลข 0 เมื่อราว 1,300 ปีก่อนนะครับ ทึ่งไหมครับ! แต่พราหมณ์คุปตะก็ยังมีปัญหาเกี่ยวกับการหาร เขาสามารถบอกได้ว่า 0 คูณกับจำนวน n ใดๆ จะได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ แต่เมื่อเป็นการหาร ถ้า 0 เป็นตัวตั้งก็จะได้ผลลัพธ์เป็น เศษ 0/n หรือเท่ากับ 0 และเมื่อ 0 เป็นตัวหารก็จะได้ผลลัพธ์เป็น n/0 โดย 0 หารด้วย 0 มีค่าเท่ากับ 0

     ถัดมา มหาวีระก็ได้ปรับปรุงข้อความของพราหมณ์คุปตะให้กระชับขึ้น เช่น “จำนวนใดๆ คูณกับ 0 ได้ผลลัพธ์เป็น 0 และจะมีค่าเท่าเดิมถ้าหักออกด้วย 0” แต่เขาก็ยังผิดพลาดเมื่อนิยามว่า “จำนวนใดๆ หารด้วย 0 จะมีค่าเท่าเดิม”

     หลังจากนั้นอีก 500 ปี ภัสการได้พูดถึงการหารด้วย 0 ใหม่ไว้ยาวๆ ว่า “จำนวนที่หารด้วย 0 จะมีค่าเป็นสัดส่วนโดยตัวส่วนเป็น 0 เศษส่วนนี้เรียกว่าจำนวนอนันต์ ซึ่งเป็นปริมาณที่มีตัวส่วนเป็น 0 และไม่อาจเปลี่ยนแปลงได้ ไม่ว่าจะมีการบวกเพิ่มหรือหักออกมากเท่าใดก็ตาม เช่นเดียวกับจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นกับเทพเจ้าเมื่อโลกได้ถือกำเนิดหรือสลายไป หรือสรรพสิ่งที่ได้มอบให้(กับ)หรือออกมา(จากพระเจ้า)” เอาสิครับ ไปถึงขั้นเทพเจ้าเลยทีเดียว แต่ก็ยังไม่สมบูรณ์อยู่ดี ตามแนวคิดของภัสการ จำนวนต่างๆ ยังคงหารด้วย 0 ได้ เขายังไม่สามารถมองทะลุไปจนถึงความจริงที่ว่า จำนวนใดๆ ไม่สามารถหารด้วย 0 ได้ อย่างน้อยภัสการก็ถูกต้องกับความคิดที่ว่า 0 ยกกำลัง 2 = 0 และ รากที่ 2 ของ 0 มีค่าเท่ากับ 0

     การที่ชาวอินเดียรู้จักกับเลข 0 ได้ลึกซึ้ง ส่วนหนึ่งก็มาจากความเชื่อทางศาสนา ไม่ว่าจะเป็น พราหมณ์ ฮินดู หรือพุทธ ต่างก็พูดถึงความว่างเปล่า นอกจากนี้ ชาวอินเดียยังเป็นอารยธรรมแรกๆ ที่มีการใช้จำนวนขนาดมโหฬารด้วย อย่างเช่น มีเทพเจ้า 330 ล้านองค์ หรือในหนังสือรามายณะ พูดถึงกองทหารจำนวน 1 ตามด้วย 0 ถึง 62 ตัว! หรือแม้แต่ความเชื่อเรื่องกลียุคที่กินเวลายาวนานถึง 432,000 ปี จำนวนเหล่านี้จะบันทึกไม่ได้เลยถ้าไม่มีเลข 0

    เมื่อเลข 0 ปรากฏขึ้นในอินเดียแล้ว สิ่งที่เกิดขึ้นต่อมาก็คือ ชนเผ่าอาหรับได้เดินทางมาถึงที่นี่ อาหรับไปที่ไหนก็จะซึมซับความรู้ของท้องถิ่นนั้นติดตัวไปด้วย รวมทั้งเรื่องของระบบตัวเลขฐาน 10 ที่มีเลข 1-9 และเลข 0 ชาวอาหรับรับแนวคิดของตัวระบุตำแหน่ง และจำนวนศูนย์ กลับไปยังตะวันออกกลาง และเมื่อเลข 0 ไปถึงแบกแดด นักคณิตศาสตร์อาหรับที่ชื่อ อัล ควอร์อิซมี ก็สะดุดใจกับเรื่องนี้เข้าอย่างจัง (ชื่อของอัล ควอร์อิซมี ต่อมาได้นำไปใช้ในวงการคอมพิวเตอร์ในคำว่า อัลกอริทึม ส่วนหนังสือที่เขาเขียนก็ก่อให้เกิดคำว่า อัลจีบรา หรือวิชาพีชคณิต)

     ในขณะเดียวกัน เลข 0 จากอินเดียก็ได้เดินทางไปทางฝั่งตะวันออกไปถึงประเทศจีนด้วย นักคณิตศาสตร์จีนได้รับเอาเลข 0 นี้ไปและพัฒนาความรู้ด้านคณิตศาสตร์ของตนเองขึ้นมา เรื่องหนึ่งที่ชาวจีนคิดขึ้นก็คือ จำนวนลบ

     ทางด้านอัล ควอร์อิซมีได้ใช้ตัวเลขทั้ง 10 ตัวของอินเดียอย่างแพร่หลาย และกลายเป็นรู้จักกันทั่วไปในชื่อของ เลขอารบิก และเลขทั้ง 10 ตัว ก็ไปสู่ยุโรป เลข 0 ไปถึงยุโรปผ่านทางชาวอาหรับซึ่งรับต่อมาจากอินเดีย โดยมีพ่อค้าชาวอิตาลีที่ใช้เวลาว่างเป็นนักคณิตศาสตร์นามว่า  ฟิโบแนคชี เป็นตัวกลาง แต่ฟิโบแนคชีก็ยังคงอ้างถึงเลข 0 ในลักษณะของเครื่องหมาย ในขณะที่เลขอีก 9 ตัว เขาอ้างถึงมันในฐานะของจำนวน ฟิโบแนคชีไม่ได้ขยายความคิดเรื่องของเลข 0 เหมือนอย่างนักคณิตศาสตร์อินเดียและอาหรับทำ(ที่มีการพูดถึงการบวก ลบ คูณ และหารด้วย 0)

     แม้ว่าเลข 0 จะมาถึงยุโรปแล้ว แต่การยอมรับก็ยังเป็นไปอย่างยากลำบาก ลองคิดดูสิครับ 473-0 ได้ 473 พอจะเห็นอยู่ แต่ 473 x 0 ได้ 0 แล้ว 473 มันหายไปไหน? ยิ่งถ้าหารด้วย 0 ยิ่งยุ่งใหญ่เลย และในปี พ.ศ. 1842 ที่ฟลอเรนซ์มีการสั่งห้ามใช้ตัวเลขอารบิกกันเลยครับ เหตุผลที่เขาว่าไว้ก็คือ เลขอารบิกมันดัดแปลงแก้ไขง่าย เช่น แก้เลข 0 ให้เป็นเลข 6

     แต่เลขอารบิกทั้ง 10 ตัวมีข้อเด่นกว่าเลขโรมันที่ใช้กันตอนนั้น แม้จะเป็นชาวยุโรปในยุคนั้นเองก็ตาม การบวกเลข CDXXXVII กับ LXIV โดยการตั้งเป็นแนวดิ่งทำได้ลำบากเมื่อลองเทียบ  กับการบวก 103 กับ 21 ในแนวดิ่ง เลขอารบิกก็เลยได้รับความนิยมมากขึ้น(อันที่จริง ชาวยุโรปใช้กระดานนับในการคำนวณมากกว่าจะใช้เลขโรมัน) ในช่วงปี พ.ศ. 2043 มีการแข่งขันการบวกด้วยกระดานนับ กับการใช้เลขอารบิก ผลปรากฏว่า เลขอารบิกชนะตลอดเลยครับ ซึ่งก็ทำให้เลขโรมันค่อยๆ ตายไป และเหลือการใช้ก็ในบางโอกาส ส่วนเลข 0 ก็ปักหลักปักฐานขึ้นในโลกได้อย่างถาวร

ความว่างเปล่าในโลกที่ไม่ว่างเปล่า

     ประการแรกเลข 0 ประพฤติตัวเป็นตัวระบุตำแหน่ง เป็นตัวบอกว่า เลขต่างๆ ในจำนวนนั้น มีค่าอะไรกันแน่ เวลาที่เราเขียนเลขอะไรขึ้นมา อย่างเช่น 206 ที่จริงเราเขียนจำนวนนี้แบบย่อ รูปแบบสมบูรณ์ของจำนวนนี้คือ (2 x 100) + (0 x 10) + (6 x 1) ซึ่งถ้าเราไม่มีเลข 0 มาทำหน้าที่เป็นผู้กำกับตำแหน่งของตัวเลขแต่ละตัว เราก็จะแยกความแตกต่างไม่ออกระหว่าง 206, 26, 260, 2600 หรือ 26000 เลข 0 ในบทบาทนี้แสดงให้เห็นว่า ไม่มีอะไรตรงนั้น เลข 206 นั้น คือมี 100 อยู่ 2 ไม่มี 10 และมี 1 อยู่ 6 เราจึงต้องการสัญลักษณ์ตัวหนึ่งมาบอกเราว่า ไม่มีจำนวนที่หลักสิบ

     การที่เรามีเลข 0 ทำให้การบันทึกค่า หรือการคำนวณที่ต้องเกี่ยวข้องกับเลขจำนวนมหาศาลทำได้โดยง่าย อย่างเช่น ตัวเลขทางดาราศาสตร์ซึ่งมีขนาดใหญ่ นักดาราศาสตร์ นักฟิสิกส์ นักเคมี และอื่นๆ ต่างได้ประโยชน์จากเลข 0 เมื่อเขาต้องพบกับจำนวนซึ่งมีค่าเป็นล้านล้าน ซึ่งพวกเขาจะไม่สามารถคิดสร้างแบบจำลองต่างๆ ขึ้นมาได้เลยถ้าไม่มีเลข 0 นี่ยังไม่ได้รวมถึงเลขจำพวก 0.01, 0.001, 0.0001 และบรรดาตัวเลขในธนาคาร ใน การค้า ที่อาจสร้างความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนไม่ตรงกันได้

     และสำหรับบทบาทของการเป็นจำนวนที่ “มี” ค่าเท่ากับ “ไม่มี” ก็สำคัญมหาศาลในสาขาคณิตศาสตร์ เลข 0 เป็นเอกลักษณ์สำหรับการบวก หมายความว่า เมื่อเรานำเลข 0 ไปบวกกับเลขจำนวนใดๆ ก็ตาม จะได้ผลลัพธ์เท่ากับเลขจำนวนนั้นเช่นเดิม 5 + 0 = 5 เห็นกันอยู่ แต่ความสำคัญของเรื่องนี้ก็คือ ในตอนที่เรากำลังจัดการบางสิ่งบางอย่างกับจำนวนอยู่ แล้วเราต้องการเปลี่ยนรูปแบบของมันโดยที่ไม่ทำให้ค่าผิดเพี้ยนคลาดเคลื่อนไป เราก็อาศัยจำนวน 0 นี่แหละช่วย นั่นคือเราสามารถบวกอะไรบางอย่างที่มีค่าเท่ากับ 0 เข้าไป ดังเช่น เรามี x2 + y2 และอยากจะเล่นกับมัน ก็ลองบวกด้วย 0 เข้าไป โดยจำนวน 0 ที่บวกให้อยู่ในรูปของ 2xy - 2xy ก็จะได้

x2 + y2  = x2 + y2 + 2xy - 2xy

             = x2 + 2xy + y2 - 2xy

           = (x + y)2 - 2xy

     มาถึงขั้นนี้ เราสามารถบอกได้เลยว่า (x + y)2 ต้องมีค่ามากกว่า 2xy เสมอ ทำไม ก็เพราะเราเริ่มต้นจากจำนวนบวก ผลสุดท้ายก็ต้องออกมาเป็นบวกซึ่งจะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อ (x + y)2 มีค่ามากกว่า 2xy นี่ล่ะครับ การเล่นกับระบบตัวเลขในวิชาคณิตศาสตร์ และบทบาทอันสำคัญของเลข 0

     การที่โลกมีเลข 0 ทำให้เกิดจำนวนลบขึ้นมาอย่างเลี่ยงไม่ได้ คำถามที่ตามมาด้วยก็คือ เลข 0 เป็นจำนวนบวก หรือจำนวนลบ เลข 0 นั้นเป็นสมาชิกของจำนวนเต็ม แต่ว่าเลข 0 ก็ไม่ใช่จำนวนลบ และไม่ใช่จำนวนบวก เลข 0 เป็นจำนวนที่มีค่าน้อยที่สุดของจำนวนทั้งหมดที่ไม่ใช่จำนวนลบ ในตำราทางคณิตศาสตร์ เมื่อพูดถึงจำนวนเต็ม เลข 0 จัดอยู่ในกลุ่มของจำนวนเต็มที่ไม่ใช่จำนวนเต็มลบ แต่ไม่อยู่ในกลุ่มของจำนวนเต็มบวก และเมื่อพูดถึงจำนวนจริงแล้ว เลข 0 เป็นสมาชิกของจำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนจริงบวก และไม่ใช่จำนวนจริงลบ

     วุ่นวายดีเหมือนกันนะครับ แต่ความวุ่นวายก็ยังไม่สิ้น คำถามที่มักจะถามกันอีกก็คือ เลข 0 เป็นจำนวนคี่ หรือจำนวนคู่? ก็มีคำตอบอยู่หลายอย่างครับ แล้วแต่ว่าจะเอาหลักการไหนมาจับ บางกรณีเรามองเลขคู่ และเลขคี่โดยพิจารณาเฉพาะจำนวนเต็ม เลข 0 ก็กลายเป็นจำนวนคู่ บางกรณีที่นิยามจำนวนคู่และคี่โดยอ้างอิงกับจำนวนธรรมชาติซึ่งมีเฉพาะจำนวนเต็มบวก เลข 0 ก็ไม่ใช่ทั้งเลขคู่และเลขคี่

    และหากเราพิจารณาจากการแบ่งซึ่งจำนวนคู่สามารถแบ่งเป็นกลุ่มที่เท่ากัน 2 กลุ่มได้ เช่น 2 แบ่งเป็นกลุ่มของ 1 ได้ 2 กลุ่ม เลข 4 แบ่งเป็นกลุ่มของ 2 ได้ 2 กลุ่ม แต่เราจะแบ่งเลข 0 ได้อย่างไร นี่ล่ะครับที่ทำให้เกิดคำถามชวนหัวระเบิดอยู่มากมาย (อีกปัญหาที่มีถกเถียงกันอยู่เรื่อยก็คือ 0/0 ได้เท่าไร? ซึ่งไม่ว่าจะโต้กันอย่างไร สุดท้าย เราก็ต้องยึดหลักว่า เราไม่สามารถใช้ 0 เป็นตัวหารได้ ดังนั้นค่าของ 0/0 เป็นอย่างไรจึงไม่มีประโยชน์ที่จะคิด)

     โลกอันวุ่นวายของเลข 0 ในท้องถนนยังมีอีกหลายอย่าง โดยเฉพาะผู้ที่ใช้ภาษาอังกฤษ พวกนี้แปลกที่ไม่ค่อยจะเรียกเลข 0 ว่า ซีโร(zero) แต่เรียก โอ มั่ง นอท มั่ง ถ้าเป็นกีฬาเทนนิส ก็เรียก 0 ว่า เลิฟ ซึ่งหมายถึงไข่ ไปโน่นเลย(เพราะรูปร่างของ 0 คล้ายกับไข่)

      เหลือบมองแป้นโทรศัพท์ และคีย์บอร์ดคอมพิวเตอร์ก็เจอความสับสน กรณีแป้นคีย์บอร์ด จะมีแป้นตัวเลขอยู่ 2 ชุด ด้านบนจะเรียงเป็นแถวยาวจาก 1,2,3... ไปจบที่ 0 แต่ถ้าเป็นแป้นด้านขวาก็จะเรียง 0,1,2,... ไปจบที่ 9 แล้วตกลงเลข 0 เป็นจุดเริ่มต้น หรือจุดสิ้นสุด? แม้แต่ฟังก์ชันคีย์ที่เป็นแป้น F1-F12 ก็ไม่มีแป้น F0 ทำไม? คงเพราะว่าเลข 0 บอกให้รู้ว่า ไม่มีฟังก์ชันสำหรับคีย์นี้ ก็เลยไม่ต้องใส่แป้นนี้ล่ะมั้ง?

      ในทางสถาปัตย์ก็มีครับ คือเรื่องเลขชั้นของอาคาร พวกฝรั่งเขาจะมีชั้น Ground ที่เราจะเรียกว่าชั้น G ในความเป็นจริงชั้นนี้ก็คือชั้นที่ 0 แต่ก็ไม่มีใครเรียกสักเท่าไร ประเทศที่เรียกชั้นที่ 0 ก็มีที่ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยซาเกรบ ในโครเอเชีย เขากำหนดชั้นของตึกภาควิชาเป็น -1, 0, 1, 2, และ 3 หรือที่บัวโนส ไอเรสก็เรียกชั้นอาคารคล้ายๆ กันนี้เหมือนกัน และหลายๆ ประเทศในยุโรปก็มีชั้นที่ 0 แต่เวลาพูดก็จะเรียกชั้น ground อยู่ดีแม้ตัวเลขชั้นในลิฟต์จะใช้เลข 0 แทนที่จะเป็น G ก็ตาม

   เลข 0 คือความว่างเปล่า ดังนั้น มันไม่สามารถอยู่ตัวเดียวโดดๆ ได้ มันเป็นเลขที่เปลี่ยวเหงา โดดเดี่ยวยิ่งกว่าเลข 1 เลข 0 ต้องมีเพื่อนร่วมทางเพื่อให้ตัวมันมีชีวิต เลข 0 เคลื่อนที่ไปอยู่ข้างหน้าก็ได้ อยู่ตรงกลางก็ได้ อยู่ขวาสุดก็ได้ แต่มันจะไม่มีประโยชน์เลยหากไร้คู่หู ลำพังตัวเลข 0 ตัวเดียว มันก็แค่ตัวแทนของ การไม่มีอยู่ของบางอย่าง เท่านั้นเอง



ข้อมูลเพิ่มเติ่ม http://203.172.205.25/ftp/intranet/mc41/special/zero01.htm